знайти обсяг тіла , Утвореного обертанням (ОТВ) навколо осі $ Ox $ плоскої фігури, обмеженої зверху параболою $ y_ {1} = -2 \ cdot x ^ {2} +16 \ cdot x + 18 $, знизу - параболою $ y_ {2} = 2 \ cdot x ^ {2} -8 \ cdot x + 18 $, а зліва і справа прямими $ x = 1 $ і $ x = 5 $ відповідно.
Виконуємо графічні побудови:
При обертанні цієї плоскої фігури навколо осі $ Ox $ верхня парабола (позначена синім кольором) утворює загальний обсяг, а нижня парабола (позначена оранжевим кольором) утворює отвір. Таким чином, ОТВ обчислюється як різниця загального обсягу і обсягу отвори.
Відомо, що ОТВ (навколо осі $ Ox $) обчислюється за формулою $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {a} ^ {b} y ^ {2} \ left (x \ right) \ cdot dx $, де $ y = y \ left (x \ right) $ - невід'ємна безперервна функція , Утворює криволінійну трапецію на відрізку $ \ left [a, \; b \ right] $.
Загальний обсяг будемо обчислювати за формулою $ V_ {1} = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} y_ {1} ^ {2} \ cdot dx $.
отримуємо:
\ [V_ {1} = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} \ left (-2 \ cdot x ^ {2} +16 \ cdot x + 18 \ right) ^ {2} \ cdot dx = \] \ [= \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} \ left (\ left (-2 \ cdot x ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left ( 16 \ cdot x \ right) ^ {2} + \ left (18 \ right) ^ {2} +2 \ cdot \ left (-2 \ cdot x ^ {2} \ right) \ cdot \ left (16 \ cdot x \ right) + \ right. \] \ [\ left. +2 \ cdot \ left (-2 \ cdot x ^ {2} \ right) \ cdot 18 + 2 \ cdot \ left (16 \ cdot x \ right ) \ cdot 18 \ right) \ cdot dx = \] \ [= \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} \ left (4 \ cdot x ^ {4} -64 \ cdot x ^ { 3} +184 \ cdot x ^ {2} +576 \ cdot x + 324 \ right) \ cdot dx = \] \ [= \ pi \ cdot \ left (4 \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ { 5} x ^ {4} \ cdot dx -64 \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} x ^ {3} \ cdot dx +184 \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} x ^ {2} \ cdot dx +576 \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} x \ cdot dx +324 \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} dx \ right) = \ ] \ [= \ pi \ cdot \ left (4 \ cdot \ left [\ frac {x ^ {5}} {5} \ right] _ {1} ^ {5} -64 \ cdot \ left [\ frac { x ^ {4}} {4} \ right] _ {1} ^ {5} +184 \ cdot \ left [\ frac {x ^ {3}} {3} \ right] _ {1} ^ {5} +576 \ cdot \ left [\ frac {x ^ {2}} {2} \ right] _ {1} ^ {5} +324 \ cdot \ left [x \ right] _ {1} ^ {5} \ right) = \] \ [= \ pi \ cdot \ left (4 \ cdot \ frac {1} {5} \ cdot \ left (5 ^ {5} -1 ^ {5} \ right) -64 \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ left (5 ^ {4} -1 ^ {4} \ right) +184 \ cdot \ frac {1} {3} \ cdot \ left (5 ^ {3} -1 ^ {3} \ right) + \ right. \] \ [\ Left. +576 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ left (5 ^ {2} -1 ^ {2} \ right) +324 \ cdot \ left (5-1 \ right) \ right) = \] \ [= \ pi \ cdot \ left (4 \ cdot \ frac {1} {5} \ cdot 3124-64 \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot 624 + 184 \ cdot \ frac {1} {3 } \ cdot 124 + 576 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot 24 + 324 \ cdot 4 \ right) = \] \ [= \ pi \ cdot \ left (2499,2-9984 + 7605,3 + 6912 + 1 296 \ right) = \ pi \ cdot 8328,5 \ approx 26151,5. \]
Аналогічним чином знаходимо обсяг отвори:
\ [V_ {2} = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5} y_ {2} ^ {2} \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {5 } \ left (2 \ cdot x ^ {2} -8 \ cdot x + 18 \ right) ^ {2} \ cdot dx. \]
Тепер обчислюємо об'єм тіла: $ V = V_ {1} -V_ {2} $.
завдання 2
Обчислити ОТВ, утвореного обертанням навколо осі $ Ox $ фігури, обмеженої лініями $ y = x ^ {4} $ і $ y = x $.
Графічне зображення фігури:
Вирішивши спільно рівняння $ y = x ^ {4} $ і $ y = x $, отримаємо $ x_ {1} = 0 $ і $ x_ {2} = 1 $ - цими прямими фігура обмежена зліва і справа.
Шуканий обсяг визначається як різниця обсягів, отриманих в результаті обертання навколо осі $ Ox $ двох криволінійних трапецій: перша обмежена прямий $ y_ {1} = x $, друга - параболою $ y_ {2} = x ^ {4} $.
ОТВ, утвореного обертанням навколо осі $ Ox $ криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою $ y = y_ {1} \ left (x \ right) $, знизу - кривою $ y = y_ {2} \ left (x \ right) $ , а також двома прямими $ x = a $ і $ x = b $ зліва і справа, будемо обчислювати за формулою $ V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {a} ^ {b} \ left (y_ {1} ^ {2} -y_ {2} ^ {2} \ right) \ cdot dx $.
маємо:
\ [V = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ left (\ left (x \ right) ^ {2} - \ left (x ^ {4} \ right) ^ {2} \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ left [\ frac {x ^ {3}} {3} - \ frac {x ^ {9}} {9} \ right] _ {0} ^ {1} = \ pi \ cdot \ left (\ frac {1} {3} - \ frac {1} {9} \ right) = \ pi \ cdot \ frac {2} {9}. \]
завдання 3
Зайти площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі $ Ox $ крівої $ y = \ sqrt {80 \ cdot x + 15} $ між точками з абсцис $ x = 3 $ і $ x = 13 $.
Графічне зображення обертається кривої:
Площа поверхні тіла обертання виражається формулою $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limits _ {a} ^ {b} y \ cdot \ sqrt {1 + y '^ {2}} \ cdot dx $, де $ y = y \ left (x \ right) $ - невід'ємна функція, задана на відрізку $ \ left [a, \; b \ right] $.
Знаходимо вираз $ \ sqrt {1 + y '^ {2}} $:
\ [Y '= \ frac {80} {2 \ cdot \ sqrt {80 \ cdot x + 15}}; \] \ [\ sqrt {1 + y' ^ {2}} = \ sqrt {1+ \ frac {80 ^ {2}} {4 \ cdot \ left (80 \ cdot x + 15 \ right)}} = \ frac {1} {2} \ cdot \ sqrt {\ frac {320 \ cdot x + 6460} { 80 \ cdot x + 15}}. \]
Знаходимо вираз для підінтегральної функції $ y \ cdot \ sqrt {1 + y '^ {2}} $:
\ [\ Sqrt {80 \ cdot x + 15} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ sqrt {\ frac {320 \ cdot x + 6460} {80 \ cdot x + 15}} = \ frac { 1} {2} \ cdot \ sqrt {320 \ cdot x + 6460}. \]
Записуємо інтеграл і обчислюємо площу поверхні:
\ [Q = \ pi \ cdot \ int \ limits _ {3} ^ {13} \ sqrt {320 \ cdot x + 6460} \ cdot dx = \] \ [= \ pi \ cdot \ left [\ frac {1 } {320} \ cdot \ frac {\ left (320 \ cdot x + 6460 \ right) ^ {\ frac {1} {2} +1}} {\ frac {1} {2} +1} \ right] _ {3} ^ {13} = \ pi \ cdot \ left [\ frac {1} {480} \ cdot \ left (320 \ cdot x + 6460 \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] _ {3} ^ {13} = \] \ [= \ frac {\ pi} {480} \ cdot \ left [\ left (320 \ cdot x + 6460 \ right) \ cdot \ sqrt {320 \ cdot x + 6460} \ right] _ {3} ^ {13} = \] \ [= \ frac {\ pi} {480} \ cdot \ left (\ left (320 \ cdot 13 + 6460 \ right) \ cdot \ sqrt {320 \ cdot 13 + 6460} - \ right. \] \ [\ left. - \ left (320 \ cdot 3 + 6460 \ right) \ cdot \ sqrt {320 \ cdot 3 + 6460} \ right) = \ ] \ [= \ frac {\ pi} {480} \ cdot \ left (10620 \ cdot \ sqrt {10620} -7420 \ cdot \ sqrt {7420} \ right) \ approx \] \ [\ approx \ frac {3 , 14} {480} \ cdot \ left (10620 \ cdot 103,053-7420 \ cdot 86,139 \ right) \ approx \]
$ \ Approx \ frac {3,14} {480} \ cdot \ left (1094423-639151 \ right) \ approx \ frac {3,14} {480} \ cdot 455272 \ approx 2978 $ кв.од.
<
