Рівняння прямих і кривих на площині

1. 10. Загальне рівняння прямої
2. 20. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
3. 30. Рівняння прямої в відрізках
4. 40. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки - A (x1, y1) і B (x2, y2):
5. 50. Рівняння прямої, що проходить через дану точку A (x1, y1) паралельно даному вектору a (m, n)
6. 60. Нормальне рівняння прямої
7. Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд
8. Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса
9. Канонічне рівняння гіперболи

Головна >> лекції >> аналітична геометрія >> Лінії на площині

Рівняння кривих у великій кількості зустрічаються при читанні економічної літератури.Укажем деякі з цих кривих.

Крива байдужості - крива, що показує різні комбінації двох продуктів, що мають однакове споживче значення, або корисність, для споживача.

Крива споживчого бюджету - крива, що показує різні комбінації кількостей двох товарів, які споживач може купити за певного рівня його грошового доходу.

Крива виробничих можливостей - крива, що показує різні комбінації двох товарів або послуг, які можуть бути зроблені в умовах повної зайнятості і повного обсягу виробництва в економіці з постійними запасами ресурсів і незмінною технологією.

Крива інвестиційного попиту - крива, що показує динаміку процентної ставки та обсяг інвестицій при різних процентних ставках.

Крива Філіпса - крива, що показує існування стійкого зв'язку між рівнем безробіття і рівнем інфляції.

Крива Лаффера - крива, що показує зв'язок між ставками податків і податковими надходженнями, що виявляє таку податкову ставку, при якій податкові надходження досягають максимуму.

Вже просте перерахування термінів показує, як важливо для економістів вміння будувати графіки і аналізувати рівняння кривих, якими є прямі лінії і криві другого порядку - окружність, еліпс, гіпербола, парабола. Крім того, при вирішенні великого класу задач потрібно виділити на площині область, обмежену будь-якими кривими, рівняння яких задани.Чаще всього ці завдання формулюються так: знайти найкращий план виробництва при заданих ресурсах. Завдання ресурсів має зазвичай вид нерівностей, рівняння яких дано. Тому доводиться шукати найбільше або найменше значення, що приймаються деякою функцією в області, заданої рівняннями системи нерівностей.

В аналітичній геометрії лінія на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0. При цьому на функцію F повинні бути накладені обмеження так, щоб, з одного боку, це рівняння мало безліч рішень і, з іншого боку, щоб це безліч рішень не заповнювало "шматка площині". Важливий клас ліній становлять ті, для яких функція F (x, y) є многочлен від двох змінних, в цьому випадку лінія, яка визначається рівнянням F (x, y) = 0, називається алгебраїчної. Алгебраїчні лінії, що задаються рівнянням першого ступеня, Cуть прямі. Рівняння другого ступеня, має безліч рішень, визначає еліпс, гіперболу, параболу або лінію, яка розпадається на дві прямі.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Пряма на площині може бути задана одним з рівнянь:

10. Загальне рівняння прямої

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n (А, В) ортогонален прямий, числа A і B одночасно не рівні нулю.

20. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

y - yo = k (x - xo), (2.2)

де k - кутовий коефіцієнт прямої, тобто k = tg a, де a - величина кута, утвореного прямою з віссю Оx, M (xo, yo) - деяка точка, що належить прямій.

Рівняння (2.2) набуває вигляду y = kx + b, якщо M (0, b) є точка перетину прямої з віссю Оy.

30. Рівняння прямої в відрізках

x / a + y / b = 1, (2.3)

де a і b - величини відрізків, що відсікаються прямій на осях координат.

40. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки - A (x1, y1) і B (x2, y2):

. (2.4)

50. Рівняння прямої, що проходить через дану точку A (x1, y1) паралельно даному вектору a (m, n)

. (2.5)

60. Нормальне рівняння прямої

rn про - р = 0, (2.6)

де r - радіус вектор довільної точки M (x, y) цієї прямої, n про - одиничний вектор, ортогональний цієї прямої і спрямований від початку координат до прямої; р - відстань від початку координат до прямої.

нормальне рівняння прямої в координатної формі має вигляд:

x cos a + y sin a - р = 0,

де a - величина кута, утвореного прямою з віссю Оx.

Рівняння пучка прямих з центром в точці А (x1, y1) має вигляд:

y-y1 = l (x-x1),

де l - параметр пучка. Якщо пучок задається двома пересічними прямими A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0, то його рівняння має вигляд:

l (A1 x + B1 y + C1) + m (A2 x + B2 y + C2) = 0,

де l і m - параметри пучка, що не звертаються в 0 одночасно.

Величина кута між прямими y = kx + b і y = k1 x + b1 задається формулою:

tg j = .

Рівність 1 + k1 k = 0 є необхідна і достатня умова перпендикулярності прямих.

Для того, щоб два рівняння

A1 x + B1 y + C1 = 0, (2.7)

A2 x + B2 y + C2 = 0, (2.8)

задавали одну і ту ж пряму, необхідно і достатньо, щоб їх коефіцієнти були пропорційні:

A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2.

Рівняння (2.7), (2.8) задають дві різні паралельні прямі, якщо A1 / A2 = B1 / B2 і B1 / B2 ¹ C1 / C2; прямі перетинаються, якщо A1 / A2 ¹ B1 / B2.

Відстань d від точки Mо (Xо, Yо) до прямої є довжина перпендикуляра, проведеного з точки Mо до прямої. Якщо пряма задана нормальним рівнянням, то d = ê r про n про - р ê, де r - радіус-вектор точки Mо або, в координатної формі, d = ê Xо cos a + Yо sin a - р ê.

Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0.

Передбачається, що серед коефіцієнтів рівняння a11, a12, a22 є відмінні від нуля.

Рівняння кола з центром в точці С (a, b) і радіусом, рівним R:

(X - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2.9)

Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних точок F1 і F2 (фокусів) є величина постійна, рівна 2a.

Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса

x2 / a2 + y2 / a2 = 1. (2.10)

Еліпс, заданий рівнянням (2.10), симетричний щодо осей координат. Параметри a і b називаються півосями еліпса.

Нехай a> b, тоді фокуси F1 і F2 знаходяться на осі Оx на відстані
c = від початку координат. Ставлення c / a = e <1 називається ексцентриситетом еліпса. Відстані від точки M (x, y) еліпса до його фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r1 = a - ex, r2 = a + e x.

Якщо ж a <b, то фокуси перебувають на осі Оy, c = , E = c / b,
r1 = b + ex, r2 = b - e x.

Якщо a = b, то еліпс є колом з центром на початку координат радіуса a.

Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох даних точок F1 і F2 (фокусів) дорівнює по абсолютній величині даному числу 2a.

Канонічне рівняння гіперболи

x2 / a2 - y2 / b2 = 1. (2.11)

Гіпербола, задана рівнянням (2.11), симетрична щодо осей координат. Вона перетинає вісь Оx в точках A (a, 0) і A (-a, 0) - вершинах гіперболи і не перетинає вісь Оy. Параметр a називається речової полуосью, b - мнимої полуосью. Параметр c = є відстань від фокуса до початку координат. Ставлення c / a = e> 1 називається ексцентриситетом гіперболи. Прямі, рівняння яких y = ± b / ax називаються асимптотами гіперболи. Відстані від точки M (x, y) гіперболи до її фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r1 = ê ex - a ê, r2 = ê ex + a ê.

Гіпербола, у якій a = b, називається равносторонней, її рівняння x2 - y2 = a 2, а рівняння асимптот y = ± x. Гіперболи x2 / a2 - y2 / b2 = 1 і
y2 / b2 - x2 / a2 = 1 називаються сполученими.

Параболою називається геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Канонічне рівняння параболи має два види:

1) y2 = 2рx - парабола симетрична щодо осі Оx.

2) x2 = 2рy - парабола симетрична щодо осі Оy.

В обох випадках р> 0 і вершина параболи, тобто точка, що лежить на осі симетрії, знаходиться на початку координат.

Парабола, рівняння якої y 2 = 2рx має фокус F (р / 2,0) і директрису x = - р / 2, фокальний радіус-вектор точки M (x, y) на ній r = x + р / 2.

Парабола, рівняння якої x2 = 2рy має фокус F (0, р / 2) і директрису y = - р / 2; фокальний радіус-вектор точки M (x, y) параболи дорівнює r = y + р / 2.

Рівняння F (x, y) = 0 задає лінію, розбиває площину на дві або декілька частин. В одних з цих частин виконується нерівність F (x, y) <0, а в інших - нерівність F (x, y)> 0. Іншими словами, лінія
F (x, y) = 0 відокремлює частина площині, де F (x, y)> 0, від частини площині, де F (x, y) <0.

Пряма, рівняння якої Ax + By + C = 0, розбиває площину на дві півплощини. На практиці для з'ясування того, в який полуплоскости ми маємо Ax + By + C <0, а в який Ax + By + C> 0, застосовують метод контрольних точок. Для цього беруть контрольну точку (зрозуміло, що не лежить на прямій, рівняння якої Ax + By + C = 0) і перевіряють, який знак має в цій точці вираз Ax + By + C. Той же знак має вказане вираз і у всій півплощині, де лежить контрольна точка. У другій полуплоскости Ax + By + C має протилежний знак.

Точно так же вирішуються і нелінійні нерівності з двома невідомими.

Наприклад, вирішимо нерівність x2-4x + y2 + 6y-12> 0. Його можна переписати у вигляді (x-2) 2 + (y + 3) 2 - 25> 0.

Рівняння (x-2) 2 + (y + 3) 2 - 25 = 0 задає окружність з центром в точці C (2, -3) і радіусом 5. Окружність розбиває площину на дві частини - внутрішню і зовнішню. Щоб дізнатися, в який з них має місце дане нерівність, візьмемо контрольну точку у внутрішній області, наприклад, центр C (2, -3) нашої окружності. Підставляючи координати точки C в ліву частину нерівності, отримуємо негативне число -25. Значить, і у всіх точках, що лежать всередині кола, виконується нерівність
x2-4x + y2 + 6y-12 <0. Звідси випливає, що таку нерівність має місце у зовнішній для окружності області.

Приклад 1.5. Складіть рівняння прямих, що проходять через точку A (3,1) і нахилених до прямої 2x + 3y-1 = 0 під кутом 45o.

Рішення. Будемо шукати рівняння прямої у вигляді y = kx + b. Оскільки пряма проходить через точку A, то її координати задовольняють рівняння прямої, тобто 1 = 3k + b, Þ b = 1-3k. Величина кута між прямими
y = k1 x + b1 і y = kx + b визначається формулою tg j = . Так як кутовий коефіцієнт k1 вихідної прямий 2x + 3y-1 = 0 дорівнює - 2/3, а кут j = 45o, то маємо рівняння для визначення k:

(2/3 + k) / (1 - 2 / 3k) = 1 або (2/3 + k) / (1 - 2 / 3k) = -1.

Маємо два значення k: k1 = 1/5, k2 = -5. Знаходячи відповідні значення b за формулою b = 1-3k, отримаємо дві шукані прямі, рівняння яких: x - 5y + 2 = 0 і
5x + y - 16 = 0.

Приклад 1.6. При якому значенні параметра t прямі, рівняння яких 3tx-8y + 1 = 0 і (1 + t) x-2ty = 0, паралельні?

Рішення. Прямі, задані загальними рівняннями, паралельні, якщо коефіцієнти при x і y пропорційні, тобто 3t / (1 + t) = -8 / (- 2t). Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо t: t1 = 2, t2 = -2/3.

Приклад 1.7. Знайти рівняння загальної хорди двох кіл:
x2 + y2 = 10 і x2 + y2-10x-10y + 30 = 0.

Рішення. Знайдемо точки перетину кіл, для цього вирішимо систему рівнянь:

.

Вирішуючи перше рівняння, знаходимо значення x1 = 3, x2 = 1. З другого рівняння - відповідні значення y: y1 = 1, y2 = 3. Тепер отримаємо рівняння загальної хорди, знаючи дві точки А (3,1) і B (1, 3), що належать цій прямій: (y-1) / (3-1) = (x-3) / (1-3), або y + x - 4 = 0.

Приклад 1.8. Як розташовані на площині точки, координати яких задовольняють умовам (x-3) 2 + (y-3) 2 <8, x> y?

Рішення. Перше нерівність системи визначає внутрішність круга, не включаючи кордон, тобто окружність з центром в точці (3,3) і радіусу . Друге нерівність задає полуплоскость, обумовлену прямій, рівняння якої x = y, причому, так як нерівність суворе, точки самої прямій не належать півплощини, а всі крапки нижче цієї прямої належать півплощини. Оскільки ми шукаємо точки, що задовольняють обом нерівностям, то шукана область - внутрішність півкола.

Приклад 1.9. Обчислити довжину сторони квадрата, вписаного в еліпс, рівняння якого x2 / a2 + y2 / b2 = 1.

Рішення. Нехай М (с, з) - вершина квадрата, що лежить в першій чверті. Тоді сторона квадрата дорівнюватиме 2 с. Оскільки точка М належить еліпсу, її координати задовольняють рівняння еліпса c2 / a2 + c2 / b2 = 1, звідки
c = ab / ; значить, сторона квадрата - 2ab / .

Приклад 1.10. Знаючи рівняння асимптот гіперболи y = ± 0,5 x і одну з її точок М (12, 3 ), Скласти рівняння гіперболи.

Рішення. Запишемо канонічне рівняння гіперболи: x2 / a2 - y2 / b2 = 1. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями y = ± 0,5 x, значить, b / a = 1/2, звідки a = 2b. Оскільки М - точка гіперболи, то її координати задовольняють рівняння гіперболи, тобто 144 / a2 - 27 / b2 = 1. З огляду на, що a = 2b, знайдемо b: b2 = 9 Þ b = 3 і a = 6. Тоді рівняння гіперболи - x2 / 36 - y2 / 9 = 1.

Приклад 1.11. Обчислити довжину сторони правильного трикутника ABC, вписаного в параболу з параметром р, припускаючи, що точка А збігається з вершиною параболи.

Рішення. Канонічне рівняння параболи з параметром р має вигляд y2 = 2рx, вершина її збігається з початком координат, і парабола симетрична щодо осі абсцис. Так як пряма AB утворює з віссю Ox кут в 30o, то рівняння прямої має вигляд: y = x. великою кількістю графіків

Отже, ми можемо знайти координати точки B, вирішуючи систему рівнянь y2 = 2рx, y = x, звідки x = 6р, y = 2 р. Значить, відстань між точками A (0,0) і B (6р, 2 р) дорівнює 4 р.