Куб принца Руперта

куб принца Руперта ( англ. Prince Rupert's cube) - найбільший куб, який може пройти через отвір, вирізаний в одиничному кубі (тобто через куб, ребра якого мають розмір 1). Ребро куба Руперта приблизно на 6% довше, ніж ребро куба, через який він проходить. Завдання пошуку такого куба тісно пов'язана з завданням пошуку найбільшого квадрата, який повністю розташований в межах одиничного куба, і має аналогічне рішення [1] [2] [3] [4] .

Відповідно до історії, розказаної в 1693 році англійським математиком Джоном Валлісом , принц Руперт Пфальцский посперечався, що в кубі можна вирізати отвір, досить велика, щоб через нього можна було протягнути куб такого ж розміру. Валліс довів, що такий отвір насправді можливо (з певними помилками, які були виправлені набагато пізніше), і принц Руперт виграв свою суперечку [1] [2] . Валліс припустив, що такий отвір буде паралельно просторової діагоналі [En] куба. проекція куба на площину, перпендикулярна цій діагоналі, є правильним шестикутником , А саме великий отвір, паралельне діагоналі, можна отримати, намалювавши найбільший квадрат, який можна вписати в цей шестикутник. Підрахунок розміру такого квадрата показує, що куб з довжиною ребра: 6 - 2 ≈ 1.03527 {\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} \ approx 1.03527} , Тобто трохи більше одиниці, може пройти через такий отвір [1] .

Приблизно через 100 років голландський математик Пітер Ньюланд [Nl] обчислив, що краще (оптимальне) рішення може бути отримано при прорізуванні отвори під іншим кутом, ніж просторова діагональ. Ньюланд помер в 1794 році (через рік після того, як став професором Лейденського університету ), Проте його рішення було опубліковано після його смерті в 1816 році його наставником Яном Хенрі ван Свінденом [1] [2] .

З того часу завдання наводилася у багатьох книжках по розважальної математики , Часом з рішенням Валліса замість оптимального [3] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] .

Якщо дві точки будуть поміщені на двох дотичних ребрах вихідного одиничного куба на відстані 3/4 від їх загальної вершини, то відстань між цими двома точками буде 3 2 4 ≈ 1.0606601 {\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ approx 1.0606601} .

Ці дві точки разом з другою парою точок, поміщених симетрично на протилежній грані, формують чотири вершини квадрата, який знаходиться повністю в межах одиничного куба. Якщо «витіснити» цей квадрат в обох напрямках перпендикулярно до себе, то вийде отвір, через яке може пройти куб більшого розміру, ніж вихідний (з довжиною ребра 3 2 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {2}}} {4}}} ) [3] .

Частини куба, що залишилися після вирізання отвору, утворюють дві трикутні призми і два неправильних тетраедра , Пов'язані тонкими «містками» в чотирьох вершинах квадрата. Кожна призма має шість вершин, дві з яких є сусідніми вершинами куба, а інші чотири вершини лежать на ребрах куба (на відстані 1/4 від цих вершин). Кожен тетраедр має одну вершину, збігається з вершиною куба, і три вершини, що знаходяться на ребрах, що виходять з цієї вершини (дві на відстані 3/4, і одна на відстані 3/16 від неї) [5] .

Побудова фізичної моделі куба принца Руперта досить проблематично через вимоги до акуратності і точності вимірювань, тонкощі містків між залишковими частинами одиничного куба після вирізання отвору; через це проблему часто називали «математично можливої, але практично не реалізується» [13] . Однак в публікації дослідження проблеми в 1950 році Д. Дж. І. Шрек навів фотографії моделі куба, що проходить через отвір в іншому кубі [14] . Мартін Рейнсфорд розробив шаблон для побудови паперових моделей куба, через який проходить другий куб; з урахуванням неточностей конструювання з паперу та щоб не порвати папір в тонких з'єднаннях прорізаного куба, отвори в моделі десь на 2% більше, ніж куб, який через неї проходить [15] .

Куб не єдина фігура, яка може пройти через вирізаний отвір в своїй копії; то ж вірно і для правильних тетраедра і октаедра [16] .

Інший варіант формулювання цієї ж завдання - питання про найбільшому квадраті , Який лежить всередині одиничного куба. Більш узагальнено, Jerrard & Wetzel (2004 ) Показують, як знайти найбільший прямокутник із заданим співвідношенням сторін, який лежить всередині одиничного куба. Вони демонструють, що оптимальний прямокутник завжди повинен перетинати центр куба і мати вершини на гранях куба. Як наслідок, в залежності від заданого співвідношення сторін, оптимальний прямокутник повинен лежати або в площині, по діагоналі перетинає чотири вершини куба, або формуватися рівнобедреним прямокутним трикутником з вершиною в одній з вершин куба і двома протилежними точками, як у випадку з кубом принца Руперта [2] . Якщо співвідношення сторін не задано, то найбільша площа прямокутника, вписаного в куб, буде у прямокутника, що має два протилежних ребра куба як дві сторони і дві протилежні площинні діагоналі як ще дві сторони [17] .

Альтернативно, можна обчислити найбільший m {\ displaystyle m} -мірний гиперкуб , Який можна намалювати всередині n {\ displaystyle n} мірного одиничного гіперкуба. Відповідь завжди буде виражатися алгебраїчним числом . Наприклад, для (m, n) = (3, 4) {\ displaystyle (m, n) = (3,4)} потрібно помістити звичайний куб всередині чотиривимірного гіперкуба. Після того як Мартін Гарднер поставив це завдання в Scientific American , Кей ДеВіччі і ще кілька авторів продемонстрували, що для пари (3,4) - рішенням є квадратний корінь меншого з дійсних коренів полінома 4 x 4 - 28 x 3 - 7 x 2 + 16 x + 16 {\ displaystyle 4x ^ {4} -28x ^ {3} -7x ^ {2} + 16x + 16} , Що становить приблизно 1.007435 [3] [18] . Для m = 2 {\ displaystyle m = 2} оптимальна довжина сторони найбільшого квадрата в n {\ displaystyle n} -мірному гиперкубе дорівнює або n / 2 {\ displaystyle {\ sqrt {n / 2}}} , Або n / 2 - 3/8 {\ displaystyle {\ sqrt {n / 2-3 / 8}}} в залежності від того, чи є n {\ displaystyle n} парним або непарним відповідно [19] .

1. ↑ 1 2 3 4 V. Frederick Rickey . Dürer's Magic Square, Cardano's Rings, Prince Rupert's Cube, and Other Neat Things (неопр.). CiteSeerX (2005). Дата обігу 5 листопада 2017. Читальний зал 7 листопада 2017 року.
2. ↑ 1 2 3 4 Richard P. Jerrard and John E. Wetzel. Prince Rupert's Rectangles // The American Mathematical Monthly : Journal. - Washington, DC: Mathematical Association of America , January 2004. - Vol. 111, no. 1. - P. 22-31. - ISSN 0002-9890 . - DOI : 10.2307 / 4145012 . - JSTOR 4145012 . - MR 2026310 . Читальний зал 1 грудня 2017 року.
3. ↑ 1 2 3 4 Gardner M. The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems: Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics . - NY: WW Norton, 2001. - P. 172-173. - 724 p. - ISBN 0-393-02023-1 . - ISBN 978-0-393-02023-6 . - OCLC 611980373 .
4. ↑ Taylor Zabinsky. Prince Rupert's Cube (неопр.). The Nature of Mathematics ... in 3D (5 October 2017). Дата звернення 21 листопада 2017. Читальний зал 22 листопада 2017 року.
5. ↑ 1 2 Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . - L.: Penguin Books , 1997. - P. 16. - 256 p. - ISBN 0-14-192940-5 . - ISBN 978-0-14-192940-8 .
6. ↑ Ozanam J. , Montucla JE Recreations in Mathematics and Natural Philosophy: Containing Amusing Dissertations and Enquiries Concerning a Variety of Subjects the Most Remarkable and Proper to Excite Curiosity and Attention to the Whole Range of the Mathematical and Philosophical Sciences: the Whole Treated in a Pleasing and Easy Manner, and Adapted to the Comprehension of All who are the Least Initiated in Those / Eds. Charles Hutton . - L.: G. Kearsley, 1803. - Vol. I. - P. 315-316. - 451 p.
7. ↑ Dudeney HE Modern Puzzles And how to Solve Them . - L.: C. Arthur Pearson Ltd, 1926. - P. 149. - 190 p.
8. ↑ Ogilvy CS Excursions in Mathematics . - NY: Dover Publications Inc., 1994 [тисячі дев'ятсот п'ятьдесят шість]. - P. 54-55. - 162 p. - ISBN 0-486-28283-X . - ISBN 978-0-486-28283-1 . - OCLC 928239974 . - MR 1313725 .
9. ↑ Ehrenfeucht A. The Cube Made Interesting / Translated from the Polish by Waclaw Zawadowski. - NY: The Macmillan Company, 1964. - Vol. 9. - P. 77. - 83 p. - OCLC 472212480 . - MR 0170242 .
10. ↑ Stewart I. Flatterland: Like Flatland Only More So. - L.: Macmillan, 2001. - P. 49-50. - 301 p. - ISBN 0-333-78312-3 . - ISBN 978-0-333-78312-2 . - OCLC 925661066 .
11. ↑ Darling D. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes . - Hoboken: John Wiley & Sons , 2004. - P. 255. - 512 p. - ISBN 0-471-66700-5 . - ISBN 978-0-471-66700-1 . - OCLC 927738312 .
12. ↑ Pickover CA The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics . - NY: Sterling Publishing Company , 2009. - P. 214. - 527 p. - ISBN 1-4027-5796-4 . - ISBN 978-1-4027-5796-9 . - OCLC 634854608 .
13. ↑ Sriraman B. , Freiman V., Lirette-Pitre N. Interdisciplinarity, Creativity, and Learning: Mathematics with Literature, Paradoxes, History, Technology, and Modeling . - Charlotte, North Carolina: Information Age Publishing , 2009. - Vol. 7. - P. 41-54. - 261 p. - ISBN 1-60752-101-6 . - ISBN 978-1-60752-101-3 . - OCLC 836964806 .
14. ↑ DJE Schrek. Prince Rupert's problem and its extension by Pieter Nieuwland // Scripta Mathematica : Journal. - NY: Yeshiva University , 1950. - Vol. 16. - P. 73-80, 261-267. - ISSN 0036-9713 .
15. ↑ George Hart . Math Monday: Passing a Cube Through Another Cube (неопр.). National Museum of Mathematics (30 January 2012). Дата звернення 21 листопада 2017. Читальний зал 8 травня 2017 року.
16. ↑ Christoph J. Scriba . Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz // Praxis der Mathematik: journal. - Köln: Aulis verlag Deubner & Co, 1968. - Vol. 10, no. 9. - P. 241-246. - ISSN 0032-7042 . - MR 0497615 .
17. ↑ Thompson SP, Gardner M. Calculus Made Easy . - 3rd ed. - NY: St. Martin's Press , 1998. - P. 315. - 330 p. - ISBN 0-312-18548-0 . - ISBN 978-0-312-18548-0 . - OCLC 799163595 .
18. ↑ Richard K. Guy and Richard J. Nowakowski. Unsolved Problems: Monthly Unsolved Problems, 1969-1997 // The American Mathematical Monthly : Journal. - Washington, DC: Mathematical Association of America , 1997. - Vol. 104, no. 10. - P. 967-973. - ISSN 0002-9890 . - DOI : 10.2307 / 2974481 . - JSTOR 2974481 . - MR 1543116 . Читальний зал 1 грудня 2017 року.
19. ↑ Eric W. Weisstein . Cube Square Inscribing (неопр.). MathWorld . Дата звернення 20 листопада 2017. Читальний зал 15 жовтня 2017 року.